P5956-[POI2017]Podzielno【数学】
2021/4/7 10:42:57
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正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5956
题目大意
\(B\)进制下,给出序列\(a\),\(a_i\)表示数字\(i\)有多少个。求一个最大的\(X\)在\(B\)进制下,由给出的数字组成(不一定要用完),且其是\(B-1\)的倍数。
\(q\)次询问\(X\)的第\(k\)位是几。
\(2\leq B\leq 10^6,1\leq q\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6,0\leq k\leq 10^{18}\)
解题思路
设\(x_i\)表示第\(i\)位的话就是
\[\left(\sum_{i=0}x_i\times B^i\right)\%(B-1)=0\Rightarrow \sum_{i=0}\left(x_i\times B^i\%(B-1)\right)=0 \]拆开单独的一个来看
\[x_i\times B^i\%(B-1)=(\ x_i\%(B-1)\ )\times (\ B^i\%(B-1)\ ) \]\[=x_i\%(B-1)\times 1 \]所以其实就是各位数字的和为\(B-1\)的倍数就好了。
然后再回头看题目发现有限制\(a_i\geq 1\)。这样如果用上所有数字的和对\(B-1\)取模为\(t\)的话,若\(t\)不为\(0\),我们就让\(a_t\)减去一个\(1\)就好了。
然后对于询问求一个前缀和然后二分
时间复杂度\(O(B+q\log B)\)
code
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=1e6+10; ll B,q,a[N]; signed main() { scanf("%lld%lld",&B,&q); ll t=0; for(ll i=0;i<B;i++){ scanf("%lld",&a[i]); (t+=a[i]*i)%=B-1; } if(t)a[t]--; for(ll i=0;i<B;i++)a[i]+=a[i-1]; while(q--){ ll x;scanf("%lld",&x);x++; if(x>a[B-1])puts("-1"); else printf("%lld\n",lower_bound(a,a+B,x)-a); } return 0; }
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