q级数\(Σ^∞_{n=1}\frac{1}{n^q}\)的敛散性
2021/5/17 18:55:22
本文主要是介绍q级数\(Σ^∞_{n=1}\frac{1}{n^q}\)的敛散性,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
\(设a_n=1/n^q,S_n=a_1+a_2+...+a_n,\)
当q=1时,取ε=1/2,则\(lim_{n→∞}sup_{p>0}=|S_{n+p} -S_n|≥S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}≥1/2>0\)
由Cauchy准则,级数发散。
当q=2时,对于任意正整数n,p,
$|S_{n+p} -S_n|=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(n+p)^2}$
$ <\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}$
$ =(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+...+(\frac{1}{n+p-1}-\frac{1}{n+p})$
$ =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}≤\frac{1}{n}$
显然当n→∞时,\(sup_{p>0}→0\),由Cauchy准则,级数收敛。
由比较判别法可知,当q≤1时,级数发散,当q≥2时,级数收敛。下面讨论当q>1时。
$S_n=Σ^n_{k=1}\frac{1}{k^q}=1+Σ^n_{k=2}\frac{1}{k^q}<1+Σ^n_{k=2}∫^k_{k-1}\frac{dx}{x^q}$
$ =1+∫^n_1\frac{dx}{x^q}=1-\frac{1}{(q-1)x^{q-1}}|^n_1<1+\frac{1}{q-1}$
即级数有界,又由\(a_n>0,得S_n单调递增,由单调有界原理得S_n收敛,即级数收敛 \)。
综上,当q≤1时级数发散,当q>1时级数收敛。
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