图论算法-最小生成树

本文主要是介绍图论算法-最小生成树，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

1.概念

对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为生成树。
连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：

1. 包含连通图中所有的顶点；
2. 任意两顶点之间有且仅有一条通路；

所有生成树中权值最小的叫做 最小生成树。
对应地，非连通图中的类似概念为生成森林。

2.算法

1.Prim算法

    1.思路：
1.反正都要经过所有点，所以先选定一个起点；
2.设置一个dist数组，表示以i为终点的邻接边的最小权值；
3.遍历当前起点的所有邻接边，按2中的含义更新dist；
4.下一次的起点为dist中的最小值对应的终点。当然，只能在没访问过的点中寻找；
5.按照如上方式，直至遍历完所有节点为止。

核心代码：

#define long  long long

void add(int st,int end,int w,int m) {
    G[m].next=first[st];
    G[m].to=end;
    G[m].wei=w;
    first[st]=m;
}
//注意：找最小边时必须确保没访问过
int find_min() {
    long minn=INF;
    int mini=n+1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(dist[i]<minn&&!vis[i]) {
            minn=dist[i];
            mini=i;
        }
    }
    return mini;
}

long prim(int st) {
    int tot=1;
    //tot:已经访问结点数
    long res=0;
    vis[st]=1;
    //以上为预处理起点
    while(tot<n) {
        //遍历完所有边，即为找到一棵最小生成树
        st=find_min();
        //查找最小值，这里可以用堆优化
        if(st==n+1)
            continue;
        res+=dist[st];
        for(int i=first[st]; i!=-1; i=G[i].next) {
            if(dist[G[i].to]>G[i].wei&&!vis[G[i].to]) dist[G[i].to]=G[i].wei;
            //这是与Dijkstra的最大不同，因为要找的是邻接的边
        }
        vis[st]=1;
        tot++;
    }
    return res;
}

Prim算法的核心思想就是反复寻找某个点的邻接边的最小值。如果图比较稀疏，那么就不是很合适了。

例题链接
思路：直接套用模板即可，注意处理可能存在的自环和重边。
我一开始是用邻接矩阵做的，但效率比较低，关键还浪费空间。后来采用向前星就好了。但在处理自环和重边那里又卡了一下，其实建图时遇到重边无需直接舍弃，在初始化dist数组时动手脚即可，详见代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define long  long long
#define INF 0x3f3f3f3f
const int MAX_NODE=5001,MAX_EDGE=200001;
using namespace std;
struct graph {
    int next,to,wei;
    graph() {next=to=-1,wei=INF;}
} G[MAX_EDGE*2]; //注意是无向边
int first[MAX_NODE];
int n,dist[MAX_NODE];
bool vis[MAX_NODE];
//dist为以i为终点的邻接的最小权值
void add(int st,int end,int w,int m) {
    G[m].next=first[st];
    G[m].to=end;
    G[m].wei=w;
    first[st]=m;
}
//注意：找最小边时必须确保没访问过
int find_min() {
    long minn=INF;
    int mini=n+1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(dist[i]<minn&&!vis[i]) {
            minn=dist[i];
            mini=i;
        }
    }
    return mini;
}
//首先假定一个起点，这里为1
long prim(int st) {
    int tot=1;
    //tot:已经访问结点数
    long res=0;
    vis[st]=1;
    //以上为预处理起点
    while(tot<n) {
        //遍历完所有边，即为找到一棵最小生成树
        st=find_min();
        //查找最小值，这里可以用堆优化
        if(st==n+1)
            continue;
        res+=dist[st];
        for(int i=first[st]; i!=-1; i=G[i].next) {
            if(dist[G[i].to]>G[i].wei&&!vis[G[i].to]) dist[G[i].to]=G[i].wei;
            //这是与Dijkstra的最大不同，因为
        }
        vis[st]=1;
        tot++;
    }
    return res;
}
//假定起点为1
int main() {
    int m,t=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fill(dist+1,dist+n+1,INF);
    fill(first,first+n+1,-1);
    for(int i=0; i<m; i++) {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(u!=v) {
            add(u,v,w,t++);
            add(v,u,w,t++);
        }
    }
    for(int i=first[1]; i!=-1; i=G[i].next)    dist[G[i].to]=min(dist[G[i].to],G[i].wei); //可能有重边
    long res=prim(1);
    res!=0?printf("%lld",res):printf("orz");
    return 0;
}

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