CINTA四：群、子群

2021/10/26 23:41:48

编程Tag： 任意相乘逆元因为所以命题 CINTA 子群

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请完成以下证明题：

3.证明命题6.6

（1）因为 $\in$ G，G是群，所以存在 $a^{-1}$ $\in$ G，有 $a^{-1}$ =e

ba=ca,两边右乘 $a^{-1}$

$\Rightarrow$ b $a^{-1}$ =c $a^{-1}$

$\Rightarrow$ be=ce，因为be=b，ce=c，所以，b=e

（2）因为 $\in$ G，G是群，所以存在 $a^{-1}$ $\in$ G，有 $a^{-1}$ =e

ab=ac，两边左乘 $a^{-1}$

$a^{-1}$ ab= $a^{-1}$ ac $\Rightarrow$ eb=ec $\Rightarrow$ b=c

由（1）（2）可知，命题6.6成立

4、证明命题6.7

（1）任意 m、n $\in$ $\mathbb{Z}$ ，设 a1= $g^{m}$ ，b1= $g^{n}$

因为前提为任意 a，b $\in$ 群G，所以 $g^{m}$ 、 $g^{n}$ $\in$ G

$\Rightarrow$ $g^{m}$ $g^{n}$ $\in$ G $\Rightarrow g^{m+n}$ $\in$ G

所以 $g^{m}$ $g^{n}$ = $g^{m+n}$

(2) 任意 m、n $\in$ $\mathbb{Z}$ ， $(g^{m})^{n}$ 等于n个 $g^{m}$ 相乘，将a= $g^{m}$

因为a $\in$ G ，所以 aa...a(n个a） $\in$ G ，b=aa...a(n个a）= $g^{mn}$

所以 $(g^{m})^{n}$ = $g^{mn}$

（3） $(h^{-1}g^{-1})^{n}$ 的逆元为 $(h^{-1}g^{-1})^{-n}$

而 $h^{-1}g^{-1}$ 的逆元为 gh ，n个 $h^{-1}g^{-1}$ 相乘，即 $(h^{-1}g^{-1})^{n}$

所以其逆元gh也n个相乘，即 $(gh)^{n}$

所以 $(gh)^{n}$ = $(h^{-1}g^{-1})^{-n}$

5、把g从G中抽出，直至抽剩两个数，其中为g1，和g1的逆元

不存在g=e，所以g*g=e

6、证明命题6.8

因为H是G的子群，H也是阿贝尔群，任意 a、b $\in$ H

因为 b $\in$ H，所以在H中存在b的逆元 $b^{-1}$ ，即 $b^{-1}$ $\in$ H

又因为 a $\in$ H、 $b^{-1}$ $\in$ H，所以 a $b^{-1}$ $\in$ H ( 封闭性）

（1）证明一：

将 $g_{0}g_{1}...g_{n}$ 看成一个整体 g，g的逆元由 $g^{-1}$ 表示

即 $(g_{0}g_{1}...g_{n})^{-1}$ = $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$ ,由命题6.3可知

所以 $g_{0}g_{1}...g_{n}$ 的逆元为 $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$

（2）证明二：

假设 $g_{0}g_{1}...g_{n}$ 的逆元为 $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$

即（ $g_{0}g_{1}...g_{n}$ ）*（ $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$ ）是否等于单位元 e

（ $g_{0}g_{1}...g_{n}$ ）*（ $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$ ) = ( $g_{0}g_{1}...g_{n-1}$ )*( $g_{n}$ $g_{n}^{-1}$ )*( $g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$ )

=( $g_{0}g_{1}...g_{n-1}$ )*( $g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$ )

以此类推，原式=e

所以假设成立， $g_{0}g_{1}...g_{n}$ 的逆元为 $g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}$

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CINTA四：群、子群

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