Solution Set - 神奇 NOIP 模拟赛

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\[\mathfrak{\text{Defining }\LaTeX\text{ macros...}}\newcommand{\vct}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\stir}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}\newcommand{\opn}[1]{\operatorname{#1}}\newcommand{\lcm}[0]{\opn{lcm}}\newcommand{\sg}[0]{\opn{sg}}\newcommand{\dist}[0]{\opn{dist}}\newcommand{\lca}[0]{\opn{lca}}\newcommand{\floor}[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor}\newcommand{\ceil}[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil} \]

  2021.10.29.

  「A. 莓良心」 给定 \(\{w_n\}\)，对于所有将其划分为 \(k\) 个非空集合的方式，求 \(w_i\times (w_i\text{ 所在集合大小})\) 之和的总和模 \(998244353\) 的值。\(n\le10^6\)。

  考虑算每个 \(w_i\) 的贡献次数，首先 \(w_i\) 自己算一次，\(\stir{n}{k}\)；任意 \(j\not=i\) 的 \(w_j\) 和 \(w_i\) 放一次时贡献一次，\((n-1)\stir{n}{k-1}\)，\(\mathcal O(n)\) 算第二类斯特林数单点值即可。

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  「B. 尽梨了」  给定 \(\{(a,b)_n\}\)，初始时 \(t=0\)，每次选一个未选过的 \(i\)，令 \(t\leftarrow(a_i+1)(t+1)+b_i\)，需要保证此时 \(t\le m\)。求最多能选择的次数。\(n\le2\times10^5\)，\(m\le10^9\)。

  交换贪心可知确定要选的集合时最优的选取顺序，依此排序后，问题变为从其中依次取子序列。注意到 \(a=0\) 的必然最后选，且按 \(b\) 从小到大选；\(a\not=0\) 每次选择至少有 \(t\leftarrow 2(t+1)\)，对于这种情况直接 DP，最后考虑 \(a=0\) 即可。复杂度 \(\mathcal O(n\log m)\)。

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  「C. 团不过」 有求 \(n\) 堆有标号石子堆，每堆石子数量在 \([1,2^n)\) 且不存在两堆相同数量石子堆时，Nim 先手必胜的方案数。\(n\le10^7\)。

  令 \(f_i\) 为仅考虑 \(i\) 堆石子的方案数，显然可以通过下降幂、\(f_{i-1}\) 和 \(f_{i-2}\) 进行转移。复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

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  「D. 七负我」 给定无向图 \(G\)，给每个结点赋非负实数权值 \(a_i\)，使得 \(\sum a_i=x\)，最大化 \(\sum_{(u,v)\in E}a_ua_v\)。\(n\le40\)。

  调整法证必然有一种方案，\(a_i>0\) 的结点的导出子图是团，继而发现取最大团最优。这里直接 Meet in Middle 求最大团即可。复杂度 \(\mathcal O(2^{\frac{n}{2}}n)\)。

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