从信息论的角度介绍交叉熵
2021/12/9 23:48:11
本文主要是介绍从信息论的角度介绍交叉熵,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
信息论
交叉熵是信息论中的一个概念,要想了解交叉熵的本质,需要先从最基本的概念讲起。
1、信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事,分别如下:
事件A:巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B:中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说,显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因,是因为事件A发生的概率很大,事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了,我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了,我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
假设X是一个离散型随机变量,其取值集合为χ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为:
由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下:
可见该函数符合我们对信息量的直觉。
2、熵
考虑另一个问题,对于某个事件,有n种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi),这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量。
序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
A | 电脑正常开机 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
B | 电脑无法开机 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
C | 电脑爆炸了 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即:
其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是:
然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(二项分布的特例),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式:
3、相对熵(KL散度)
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异。
维基百科对相对熵的定义:
In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。
在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1]。直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。
KL散度的计算公式:
其中,n为事件的所有可能性。DKL的值越小,表示q分布和p分布越接近。
4、交叉熵
对上式变形可以得到:
等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:
在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。
5、机器学习中交叉熵的应用
5.1、为什么要用交叉熵做loss函数?
在线性回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如:
这里的m表示m个样本的,loss为m个样本的loss均值。在逻辑分类中则不是这样。
5.2、交叉熵在单分类问题中的使用
这里的单类别是指,每一张图像样本只能有一个类别,比如只能是狗或只能是猫。交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法。
上式为一张样本的loss计算方法。其中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本:
对应的标签和预测值:
* | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
Label | 0 | 1 | 0 |
Pred | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
那么:
对应一个batch的loss就是:
其中,m为当前batch的样本数。
6、交叉熵在多分类问题中的使用
这里的多类别是指,每一张图像样本可以有多个类别,比如同时包含一只猫和一只狗和单分类问题的标签不同,多分类的标签是n-hot。
比如下面这张样本图,即有青蛙,又有老鼠,所以是一个多分类问题:
对应的标签和预测值:
* | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
Label | 0 | 1 | 1 |
Pred | 0.1 | 0.7 | 0.8 |
值得注意的是,这里的Pred不再是通过softmax计算的了,这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说,就是每一个Label都是独立分布的,相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算,每一个节点只有两种可能值,所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布,熵的计算可以进行简化。
同样的,交叉熵的计算也可以简化,即:
注意,上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为:
单张样本的loss即为loss=loss猫+loss蛙+loss鼠。
每一个batch的loss就是:
式中m为当前batch中的样本量,n为类别数。
引用自:一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用,透彻理解交叉熵背后的直觉_史丹利复合田的博客-CSDN博客_交叉熵的理解
这篇关于从信息论的角度介绍交叉熵的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!
- 2024-05-31全网首发第二弹!软考2024年5月《软件设计师》真题+解析+答案!(11-20题)
- 2024-05-31全网首发!软考2024年5月《软件设计师》真题+解析+答案!(21-30题)
- 2024-05-30【Java】百万数据excel导出功能如何实现
- 2024-05-30我们小公司,哪像华为一样,用得上IPD(集成产品开发)?
- 2024-05-30java excel上传--poi
- 2024-05-30安装笔记本应用商店的pycharm,再安排pandas等模块,说是没有打包工具?
- 2024-05-29java11新特性
- 2024-05-29哪些无用敏捷指标正在破坏敏捷转型?
- 2024-05-29鸿蒙原生应用再新丁!新华社 入局鸿蒙
- 2024-05-29设计模式 之 迭代器模式(Iterator)