本文主要是介绍表格法，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

Tabular Method 表格法

还在为求积分头疼吗？

还在为分部积分公式记不清烦恼吗？

还在为求积公式用错而后悔不已吗？

来使用表格法吧，然你彻底摆脱分部积分！让你解题总快人一步！...

什么是表格法？

表格法是一种更加简洁，优美的，很大程度上可以取代分部积分法（Integration by Parts）的求解方法，定理如下：

\[\int f(x) g(x)dx =\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^jf^j(x) g^{-(j+1)}(x) + (-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx \]

亦即

\[ f g^{(-1)}-f^{(1)} g^{(-2)}+f^{(2)} g^{(-3)}-\cdots+(-1)^{n-1} f^{(n-1)} g^{(-n)}+(-1)^{n} \int f^{(n)} g^{(-n)} d x \]

为了简洁起见，记

\[f^{(-n)}=\int \cdots \int_{\mathbf{D}} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \ldots \mathrm{d} x_{n} \]

那么上式就可以列成这样的表格：

正负号	D（积分）	I（导数）	代表的积分
+	\(f(x)\)	g(x)	\(\int f^(x)g(x)dx\)
-	\(f^{(1)}\)	\(g^{(-1)}\)	\(-1 \cdot \int f^{(1)}(x)g^{-1}(x)dx\)
+	\(f^{(2)}\)	\(g^{(-2)}\)	\(\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\)
-	\(f^{(3)}\)	\(g^{(-3)}\)	\(\int f^{(3)}(x)g^{(-3)}(x)dx\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\((-1)^{(n-1)}\)	\(f^{(n-1)}\)	\(g^{(-(n-1))}\)	\((-1)^{(n-1)} \int f^{n-1}(x)g^{-n+1}(x)dx\)
\((-1)^{(n)}\)	\(f^{(n)}\)	\(g^{(-n)}\)	\((-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx\)

看到这里，相信大家已经会了吧。那么今天就此结束，咱们下次见。

什么？要例子？这都说的多清楚了，要什么例子。

看不懂？好吧，那就给几个例子吧

表格法展开停止条件

遇到0

例题一：求解下面无穷积分：

\[\int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx \]

解：根据表格法，可以其不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	\(x^2\)	\(e^{-x}\)	\(\int x^2 e^{-x}dx\)
-	\(2x\)	\(-e^{-x}\)	\(\int 2x e^{-x}dx\)
+	\(2\)	\(e^{-x}\)	\(\int 2 e^{-x}dx\)
-	\(0\)	\(-e^{-x}\)	\(\int 0 dx\)

\[\therefore \int x^2 e^{-x}dx = -x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C \]

遇到循环

例题二：求解下面不定积分：

\[\int e^x sin(x) dx \]

解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	\(sin(x)\)	\(e^{x}\)	\(\int e^{x}sin(x)dx\)
-	\(cos(x)\)	\(e^{x}\)	\(\int e^{x}cos(x)dx\)
+	\(-sin(x)\)	\(e^{x}\)	\(-\int e^{x}sin(x)dx\)
-	\(-cos(x)\)	\(e^{x}\)	\(\int cos(x) e^x dx\)

在上面的表格中，我们发现它可以无限往下面展开，但我们只需要看清楚第三次展开的结果，发现了吗？它就是原积分的相反数（这是特殊情况，一般只要呈现出倍数关：系就可以停止展开了），这时结束展开，可以得到:

\[\int e^x sin(x) dx=sin(x)e^x-cos(x)e^x-\int e^{x}sin(x)dx \]

可以写成简单积分

例题三：求解下面不定积分：

\[\int x^4 lnx dx \]

解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	\(x^4\)	\(lnx\)	\(\int x^4 lnx dx\)
-	\(4x^3\)	?	？

\(lnx\)的积分不会求怎么办？换个位不就行了\(lnx\)的导数总是简单了吧

	D	I	rep
+	\(lnx\)	\(x^4\)	\(\int x^4 lnx dx\)
-	\(\frac{1}{x}\)	\(\frac{1}{5}x^5\)	\(\frac{1}{5}\int x^4dx\)
+	----	-----	-----

当发现出现了贼简单的一个式子时，就不要在展开了，直接就出答案了

\[\therefore \int x^4 lnx dx = lnx\cdot \frac{1}{5}x^5- \frac{1}{5}\int x^4 dx \]

讲到这里，你总该满意了吧，谢谢支持！某年某月，我们再见！

[1]:1988年的电影《为人师表 / Stand and Deliver》,里面有这个表格法的片段。“Tic, Tac, Toe, Simple!”

这篇关于表格法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对大家有所帮助，也希望大家多多支持为之网！