深度学习教程 | 浅层神经网络

2022/4/14 6:14:21

本文主要是介绍深度学习教程 | 浅层神经网络,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

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  • 作者:韩信子@ShowMeAI
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第1门课 神经网络和深度学习,第3周:浅层神经网络

本系列为吴恩达老师《深度学习专业课程》学习与总结整理所得,对应的课程视频可以在这里查看。

引言

在ShowMeAI前一篇文章 神经网络基础 中我们对以下内容进行了介绍:

  • 二分类问题、逻辑回归模型及损失函数。
  • 梯度下降算法。
  • 计算图与正向传播及反向传播。
  • 向量化方式并行计算与提效。

本篇内容我们将从浅层神经网络入手,逐步拓展到真正的神经网络模型知识学习。

1.神经网络表示

神经网络的表示 Neural Network Representation

图示为两层神经网络,也可以称作单隐层神经网络(a single hidden layer neural network)。这就是典型的浅层(shallow)神经网络,结构上,从左到右,可以分成三层:

  • 输入层(input layer):竖向堆叠起来的输入特征向量。
  • 隐藏层(hidden layer):抽象的非线性的中间层。
  • 输出层(output layer):输出预测值。

注意:当我们计算网络的层数时,通常不考虑输入层。因此图中隐藏层是第一层,输出层是第二层。

神经网络表示

有一些约定俗成的符号表示,如下:

  • 输入层的激活值为\(a^{[0]}\),隐藏层产生的激活值,记作\(a^{[1]}\)。
  • 隐藏层的第一个单元(或者说节点)就记作\(a^{[1]}_1\),输出层同理。
  • 隐藏层和输出层都是带有参数\(W\)和\(b\)的,它们都使用上标[1]来表示是和第一个隐藏层有关,或者上标[2]来表示是和输出层有关。

2.计算神经网络的输出

2.1 两层神经网络

计算一个神经网络的输出 Computing a Neural Network's Output

接下来我们开始详细推导神经网络的计算过程

我们依旧来看看我们熟悉的逻辑回归,我们用其构建两层神经网络。逻辑回归的前向传播计算可以分解成计算\(z\)和\(a\)的两部分。

如果我们基于逻辑回归构建两层神经网络,前向计算从前往后要做2次计算:

  • 从输入层到隐藏层,对应一次逻辑回归运算。
  • 从隐藏层到输出层,对应一次逻辑回归运算。
神经网络前向计算

在每层计算中,我们注意对应的上标和下标:

  • 我们记上标方括号\(^{[ ]}\)表示layer,记下标表示第几个神经元。例如,\(a_i^{[l]}\)表示第\(l\)层的第\(i\)个神经元。
  • 注意,\(i\)从\(1\)开始,\(l\)从\(0\)开始。

2.2 单个样本计算方式

我们将输入层到隐藏层的计算公式列出来:

神经网络前向计算

后续从隐藏层到输出层的计算公式为:

神经网络前向计算

上述每个节点的计算都对应着一次逻辑运算的过程,分别由计算\(z\)和\(a\)两部分组成

2.3 向量化计算

多样本向量化 Vectorizing across Multiple Examples

我们引入向量化思想提升计算效率,将上述表达式转换成矩阵运算的形式,如下所示:

神经网络前向计算

我们这里特别注意一下数据维度:

  • \(W^{[1]}\)的维度是\((4,3)\)
  • \(b^{[1]}\)的维度是\((4,1)\)
  • \(W^{[2]}\)的维度是\((1,4)\)
  • \(b^{[2]}\)的维度是\((1,1)\)

2.4 数据集向量化计算

向量化实现的解释 Justification for Vectorized Implementation

上面部分提到的是单个样本的神经网络正向传播矩阵运算过程。对于\(m\)个训练样本,我们也可以使用向量化矩阵运算的形式来提升计算效率。形式上,它和单个样本的矩阵运算十分相似,比较简单。我们记输入矩阵\(X\)的维度为\((n_x,m)\),则有:

神经网络前向计算

上述公式中,\(Z^{[1]}\)的维度是\((4,m)\),4是隐藏层神经元的个数;\(A^{[1]}\)的维度与\(Z^{[1]}\)相同;\(Z^{[2]}\)和\(A^{[2]}\)的维度均为\((1,m)\)。

我们可以这样理解上述的矩阵:行表示神经元个数,列表示样本数目\(m\)

3.激活函数

激活函数 Activation Functions

3.1 不同的激活函数与选择

在神经网络中,隐藏层和输出层都需要激活函数(activation function),前面的例子中我们都默认使用Sigmoid函数\(\sigma(z)\)作为激活函数。实际我们有不同的激活函数可以选择,而且它们有各自的优点:

激活函数

(1) tanh 函数

the hyperbolic tangent function,双曲正切函数

\[a = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} \]

优点:函数输出介于\((-1,1)\),激活函数的平均值就更接近0,有类似数据中心化的效果。效果几乎总比Sigmoid函数好(二元分类的输出层我们还是会用Sigmoid,因为我们希望输出的结果介于\((0,1)\))。

缺点:当\(z\)趋紧无穷大(或无穷小),导数的梯度(即函数的斜率)就趋紧于0,这使得梯度算法的速度大大减缓。这一点和Sigmoid一样。

(2) ReLU函数

the rectified linear unit,修正线性单元

\[a=max(0,z) \]

优点:当\(z > 0\)时,梯度始终为1,从而提高神经网络基于梯度算法的运算速度,收敛速度远大于Sigmoid和tanh。

缺点:当\(z < 0\)时,梯度一直为0,但是实际的运用中,该缺陷的影响不是很大。

(3) Leaky ReLU

带泄漏的ReLU

\[a=max(0.01z,z) \]

优点:Leaky ReLU保证在\(z < 0\)的时候,梯度仍然不为0。

理论上来说,Leaky ReLU有ReLU的所有优点,但在实际操作中没有证明总是好于ReLU,因此不常用。

总结

在选择激活函数的时候,如果在不知道该选什么的时候就选择ReLU。当然也没有固定答案,要依据实际问题在交叉验证集合中进行验证分析。注意,我们可以在不同层选用不同的激活函数。

3.2 使用非线性激活函数的原因

为什么需要非线性激活函数? Why Need a Nonlinear Activation Function?

使用线性激活函数和不使用激活函数、无论神经网络有多少层,输出都是输入的线性组合,与没有隐藏层效果相当,就成了最原始的感知器了。我们以2层神经网络做一个简单推导,如下:

假设所有的激活函数都是线性的,为了更简单一点,我们直接令激活函数\(g(z)=z\),即\(a=z\)。那么,浅层神经网络的各层输出为:

\[z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]} \]

\[a^{[1]}=z^{[1]} \]

\[z^{[2]}=W^{[2]}a^{[1]}+b^{[2]} \]

\[a^{[2]}=z^{[2]} \]

我们对上述公式中\(a^{[2]}\)展开计算,得:

\[\begin{aligned} a^{[2]}=z^{[2]} &=W^{[2]} a^{[1]}+b^{[2]} \\ &=W^{[2]}\left(W^{[1]} x+b^{[1]}\right)+b^{[2]} \\ &=\left(W^{[2]} W^{[1]}\right) x+\left(W^{[2]} b^{[1]}+b^{[2]}\right) \\ &=W^{\prime} x+b^{\prime} \end{aligned} \]

上述推导后,我们可以发现\(a^{[2]}\)仍是输入变量\(x\)的线性组合!后续堆叠更多的层次,也可以依次类推,这表明,使用神经网络,如果不使用激活函数或使用线性激活函数,与直接使用线性模型的效果并没有什么两样!因此,隐藏层的激活函数必须要是非线性的。

不过,在部分场景下,比如是回归预测问题而不是分类问题,输出值\(y\)为连续值,输出层的激活函数可以使用线性函数。如果输出\(y\)恒为正值,则也可以使用ReLU激活函数,这些具体情况具体分析。

3.3 激活函数的导数

激活函数的导数 Derivatives of Activation Functions

我们来看一下不同激活函数的导数,这将在我们反向传播中频繁用到。

激活函数

4.神经网络的梯度下降法

神经网络的梯度下降 Gradient Descent for Neural Networks

下面我们来一起看看,神经网络中的梯度计算。

我们依旧以浅层神经网络为例,它包含的参数为\(W^{[1]}\),\(b^{[1]}\),\(W^{[2]}\),\(b^{[2]}\)。

神经网络的梯度下降法

令输入层的特征向量个数\(n_x=n^{[0]}\),隐藏层神经元个数为\(n^{[1]}\),输出层神经元个数为\(n^{[2]}=1\)。则:

  • \(W^{[1]}\)的维度为\((n^{[1]},n^{[0]})\)
  • \(b^{[1]}\)的维度为\((n^{[1]},1)\)
  • \(W^{[2]}\)的维度为\((n^{[2]},n^{[1]})\)
  • \(b^{[2]}\)的维度为\((n^{[2]},1)\)

4.1 神经网络中的梯度下降

上述神经网络的前向传播过程,对应的公式如下图左侧。反向传播过程,我们会进行梯度计算,我们先列出Cost Function对各个参数的梯度,如下图右侧公式。

神经网络的梯度下降法

其中,np.sum使用到python中的numpy工具库,想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的 图解数据分析 系列中的numpy教程,也可以通过ShowMeAI制作的numpy速查手册 快速了解其使用方法)

4.2 反向传播(拓展补充)

直观理解反向传播 Backpropagation Intuition

我们使用上篇内容 神经网络基础 中的计算图方式来推导神经网络反向传播。回忆我们前面提到的逻辑回归,推导前向传播和反向传播的计算图如下图所示:

神经网络的梯度下降法

因为多了隐藏层,神经网络的计算图要比逻辑回归的复杂一些,如下图所示。

神经网络的梯度下降法

综上,对于浅层神经网络(包含一个隐藏层)而言,「单个样本」和「m个训练样本」的反向传播过程分别对应如下的6个表达式(都是向量化矩阵形式):

神经网络的梯度下降法

5.随机初始化

随机初始化 Random + Initialization

5.1 全零初始化权重问题

我们在很多机器学习模型中,会初始化权重为0。但在神经网络模型中,参数权重\(W\)是不能全部初始化为零的,它会带来对称性问题(symmetry breaking problem),下面是分析过程。

假设一个浅层神经网络包含两个输入,隐藏层包含两个神经元。

NN权重初始化

如果权重\(W^{[1]}\)和\(W^{[2]}\)都初始化为零,这样使得隐藏层第一个神经元的输出等于第二个神经元的输出,即\(a_1^{[1]}=a_2^{[1]}\)。容易得到\(dz_1^{[1]}=dz_2^{[1]}\),以及\(dW_1^{[1]}=dW_2^{[1]}\)。

我们发现:隐藏层两个神经元对应的权重行向量\(W_1^{[1]}\)和\(W_2^{[1]}\)每次迭代更新都会得到完全相同的结果,\(W_1^{[1]}\)始终等于\(W_2^{[1]}\),完全对称!这样隐藏层设置多个神经元就没有任何意义了。

当然,因为中间层每次只会有1个偏置项参数\(b\),它可以全部初始化为零,并不会影响神经网络训练效果。

5.2 解决方法

上述提到的权重W全部初始化为零带来的问题就是symmetry breaking problem(对称性)。解决方法也很简单:在初始化的时候,\(W\)参数要进行随机初始化,不可以设置为0。而\(b\)因为不存在对称性的问题,可以设置为 0。

以 2 个输入,2 个隐藏神经元为例:

W = np.random.rand(2,2)* 0.01
b = np.zeros((2,1))

这里将 \(W\) 的值乘以 0.01(或者其他的常数值)的原因是为了使得权重 \(W\) 初始化为较小的值,这是因为使用 Sigmoid 函数或者 tanh 函数作为激活函数时:

  • 若\(W\) 比较小,则 \(Z=WX+b\) 所得的值趋近于 0,梯度较大,能够提高算法的更新速度。
  • 若 \(W\) 设置的太大,得到的梯度较小,训练过程因此会变得很慢。
NN权重初始化

ReLU 和 Leaky ReLU 作为激活函数时不存在这种问题,因为在大于 0 的时候,梯度均为 1。如果输出层是Sigmoid函数,则对应的权重\(W\)最好初始化到比较小的值。

参考资料

  • 图解数据分析
  • numpy速查手册

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