同余方程
2022/5/10 23:02:17
本文主要是介绍同余方程,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
太惭愧了。我把扩欧给忘了,加紧补救一下。
扩欧用来解决形如 \(ax+by=mg,g=gcd(a,b)\) 的特解 \(x,y\) 的算法。首先我们知道假如我们求出了 \(x',y'\) 满足 \(ax'+by'=g\) ,那么必然有特解 \(x=mx',y=my'\) ,于是就把问题一般化了。
考虑欧几里得辗转相除法最后肯定会有 \(a=g,b=0\) 的情况,那么此时则有 \(x=1,y=0\) 这组解,毕竟 \(1g+0y=g\) 恒成立。接下来考虑其它情况:
上一层返回的答案 \(x',y'\) 肯定满足 \(x'b+y'(a\%b)=g\) 。那么:
\[xa+yb=x'b+y'(a\%b)=g \]\[xa+yb=x'b+y'(a-a/b\times b)=g \]\[xa+yb=x'b+y'a+y'(-a/b\times b)=g \]\[xa+yb=x'b+y'a+(-y'\times a/b)b=g \]\[xa+yb=y'a+(-y'\times a/b+x')b=g \]也就是说, \(x=y',y=-y'\times a/b+x'\) 一定是满足我们的要求的。到此推导完毕。
另外就是求出特解 \(x0,y0\) 之后,可以发现 \(\forall x=x0+rb,y=y0-ra\) ,都满足等式,这样我们就可以不重不漏地获得所有整数解了。
code:
#include<cstdio> #define zczc #define int long long inline void read(int &wh){ wh=0;int f=1;char w=getchar(); while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();} while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();} wh*=f;return; } int x,y; void exgcd(int a,int b){ if(b==0){x=1,y=0;return;} exgcd(b,a%b); int xx=x,yy=y; x=yy,y=xx-a/b*yy;//不能写"xx-yy*a/b" } signed main(){ #ifdef zczc freopen("in.txt","r",stdin); #endif int a,b; read(a);read(b); exgcd(a,b); printf("%lld",(x%b+b)%b); return 0; }
这篇关于同余方程的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!
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