【题解】[CSP-S2019] 格雷码
2022/7/5 23:20:53
本文主要是介绍【题解】[CSP-S2019] 格雷码,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
[CSP-S2019] 格雷码
题目传送门:洛谷P5657 [CSP-S2019] 格雷码
题目描述
通常,人们习惯将所有 \(n\) 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为:00,01,10,11。
格雷码(Gray Code)是一种特殊的 \(n\) 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。
所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为:00,01,11,10。
\(n\) 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:
- 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为:0,1。
- \(n + 1\) 位格雷码的前 \(2^n\) 个二进制串,可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码(总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串)按顺序排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。
- \(n + 1\) 位格雷码的后 \(2^n\) 个二进制串,可以由依此算法生成的 \(n\) 位格雷码(总共 \(2^n\) 个 \(n\) 位二进制串)按逆序排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。
综上,\(n + 1\) 位格雷码,由 \(n\) 位格雷码的 \(2^n\) 个二进制串按顺序排列再加前缀 0,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 \(2^{n+1}\) 个二进制串。另外,对于 \(n\) 位格雷码中的 \(2^n\) 个 二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 \(0 \sim 2^n - 1\) 编号。
按该算法,2 位格雷码可以这样推出:
- 已知 1 位格雷码为 0,1。
- 前两个格雷码为 00,01。后两个格雷码为 11,10。合并得到 00,01,11,10,编号依次为 0 ~ 3。
同理,3 位格雷码可以这样推出:
- 已知 2 位格雷码为:00,01,11,10。
- 前四个格雷码为:000,001,011,010。后四个格雷码为:110,111,101,100。合并得到:000,001,011,010,110,111,101,100,编号依次为 0 ~ 7。
现在给出 \(n\),\(k\),请你求出按上述算法生成的 \(n\) 位格雷码中的 \(k\) 号二进制串。
输入格式
仅一行两个整数 \(n\),\(k\),意义见题目描述。
输出格式
仅一行一个 \(n\) 位二进制串表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
2 3
样例输出 #1
10
样例 #2
样例输入 #2
3 5
样例输出 #2
111
样例 #3
样例输入 #3
44 1145141919810
样例输出 #3
00011000111111010000001001001000000001100011
提示
【样例 1 解释】
2 位格雷码为:00,01,11,10,编号从 0∼3,因此 3 号串是 10。
【样例 2 解释】
3 位格雷码为:000,001,011,010,110,111,101,100,编号从 0∼7,因此 5 号串是 111。
【数据范围】
对于 \(50\%\) 的数据:\(n \leq 10\)
对于 \(80\%\) 的数据:\(k \leq 5 \times 10^6\)
对于 \(95\%\) 的数据:\(k \leq 2^{63} - 1\)
对于 \(100\%\) 的数据:\(1 \leq n \leq 64\), \(0 \leq k \lt 2^n\)
思路:
首先
我们观察题目给的一组处理好的串(我们称每一个经处理后的格雷数为串)
000,001,011,010,110,111,101,100,
会惊奇地发现
前四个串第一位数都为0
(000,001,011,010)
数字的加粗好像不是很明显
后四个串第一位数都是1
(110,111,101,100)
然后我们从中间分开
前四个串放一起
后四个串放一起
继续看
又会惊奇地发现
1. 在这前四个串中(即前半部分)
前两个串的第二位都是0(000,001)设这组串为a
后两个串的第二位都是1(011,010)设这组串为b
- 二分a(000,001)
前一个串的第三位都是0 (即前半部分)
后一个串的第三位都是1 (即后半部分) - 二分b(011,010)
前一个串的第三位都是1 (即前半部分)
后一个串的第三位都是0 (即后半部分)
2. 在后四个串中(即后半部分)
前两个串的第二位都是1(110,111)设这组串为c
后两个串的第二位都是0(101,100)设这组串为d
- 二分c(110,111)
前一个串的第三位是0 (即前半部分)
后一个串的第三位是1 (即后半部分) - 二分d(101,100)
前一个串的第三位是1 (即前半部分)
后一个串的第三位是0 (即后半部分)
然后
我们理一下思路
就会发现一个规律:
每一个阶段
前半段或后半段二分次数对应的位数是0还是1
取决于上一个阶段
也就是看k在上一个阶段
是在前半段
还是后半段
来自前半段的话
- 前半段对应位数的字符则是0
- 后半段是1
来自后半段的话
- 前半段对应位数的字符则是1
- 后半段是0
可以在处理的过程中直接输出
不需要存
还有一点!!
一定要用unsigned long long !!!!!
下面给出代码
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; unsigned long long k,bk; int n; bool flag; int main() { cin>>n>>k; bk=pow(2,n-1);//从0开始编号则n-1 while(bk)//直到长度为0 { if(!flag) { if(k < bk) cout<<"0";//此处省略一个flag=false; else if(k >= bk) { cout<<"1"; k -= bk;//为下一阶段判断k的位置做准备 flag = true;//k在后半段下一阶段为10顺序 } } else if(flag) { if(k < bk) { cout<<"1"; flag = false;//若k在前半段,使下一阶段为01顺序 } else if(k >= bk) { //如果k大于bk则在后半段 cout<<"0"; k -= bk;//为下一阶段判断k的位置做准备 //此处省略一个flag=true; } } bk >>= 1;//每次去掉一半,k在前半段则去掉后半段长度, 在后半段则去掉前半段长度 } return 0; }
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