求两个数的最大公约数,Euclid算法证明,以及C语言代码实现
2021/6/6 12:20:55
本文主要是介绍求两个数的最大公约数,Euclid算法证明,以及C语言代码实现,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
题目:
题目链接https://akaedu.github.io/book/ch05s03.html 下边练习题.
1、编写递归函数求两个正整数a和b的最大公约数(GCD,Greatest Common Divisor),使用Euclid算法:
-
如果a除以b能整除,则最大公约数是b。
-
否则,最大公约数等于b和a%b的最大公约数。
Euclid算法是很容易证明的,请读者自己证明一下为什么这么算就能算出最大公约数。最后,修改你的程序使之适用于所有整数,而不仅仅是正整数
先证明一下:
为便于理解,这里默认a和b都是正整数的情况,且a大于等于b.
如果a除以b能整除,则最大公约数是b. 这个很好理解,能把b整除的最大约数是b,b又能整除a,因此a和b的最大公约数是b.
设j是a和b的最大公约数,k是b和a%b的最大公约数; ..........① 因为j是a和b的最大公约数,所以存在正整数x1和y1使a=x1*j, b=y1*j成立; 如果b不能整除a,则存在正整数p使a=p*b+a%b成立; a%b=a-p*b=x1*j-p*y1*j=(x1-p*y1)*j; 所以j是a%b的约数;因为j是b的约数,所以j是b和a%b的公约数; 因为k是b和a%b的最大公约数,j是b和a%b的公约数,所以k大于等于j; ..........② k是b和a%b的最大公约数,所以存在正整数x2和y2使b=x2*k,a%b=y2*k成立; a=p*b+a%b=p*x2*k+y2*k=(p*x2+y2)*k; 所以k是a的约数;因为k是b的约数,所以k是a和b的公约数; 因为j是a和b的最大公约数,所以j大于等于k; ..........③ 因为k大于等于j,j大于等于k,所以j和k相等; 即:a和b的最大公约数就是b和a%b的最大公约数. ..........④
代码验证如下:
#include <stdio.h> #include <math.h> int gcd(int a,int b) { /* 如果a和b中有负数,先用fabs函数得到a和b的绝对值再算最大公约数; */ a = fabs(a); b = fabs(b); /* 另外,要让gcd函数的第一个参数的绝对值比第二个参数的绝对值大; */ if (a < b){ int temp; temp = a; a = b; b = temp; } if (a%b == 0) return b; else return gcd(b,a%b); } int main(void) { printf("gcd:%d\n",gcd(60,24)); printf("gcd:%d\n",gcd(60,-24)); printf("gcd:%d\n",gcd(-60,24)); printf("gcd:%d\n",gcd(-60,-24)); printf("gcd:%d\n",gcd(24,60)); printf("gcd:%d\n",gcd(-24,60)); printf("gcd:%d\n",gcd(24,-60)); printf("gcd:%d\n",gcd(-24,-60)); return 0; }
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