一些公式和定理

本文主要是介绍一些公式和定理，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

公式＆定理：

1. 两个互为反演的关系矩阵互逆

2. 二项式反演 1

   \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \binom{n}{i}F(i)\)

3. 二项式反演 2（对于形式1进行基本反演推论的应用）

   \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i}F(i)\)

4. 二项式反演 3（对于形式2的矩阵进行转置）

   \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=n} \binom{i}{n} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=n}(-1)^{n-i} \binom{i}{n}F(i)\)

5. 二项式反演 4（对于形式3移动-1的幂）

   \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=n} (-1)^i \binom{i}{n} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=n}(-1)^i \binom{i}{n}F(i)\)

6. min-max 反演

   \(\max(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\)

   \(\min(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T)\)

7. 在期望下的 min-max 容斥

   \(E(\max(S))=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))\)

8. 第 k 大

   \(Kth\max(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}F(|T|)\min(T)\)

9. 斯特林反演

   \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^{(n-i)} \large[^n_i]F(i)\)

   \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n \large[^n_i]F(i)\)

   \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^{(i-n)} \large[^n_i]F(i)\)

   \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{i-n} \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n \large[^n_i]F(i)\)

10. 集合反演：

    \(\displaystyle\sum_{S \subseteq U}\mu(S)=[U=\varnothing]\)

    \(F(S)=\displaystyle\sum_{T \subseteq S}f(T) \Longleftrightarrow f(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S-T|}F(S)\)

    \(F(S)=\displaystyle\sum_{S \subseteq T}f(T) \Longleftrightarrow f(S)=\sum_{S \subseteq T}(-1)^{|T-S|}F(S)\)

11. 单位根反演：

    \([n|a]=\frac{1}n\sum_{k=0}^{n-1}w^{ak}_n\)

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