拉格朗日差值学习笔记&做题记录
2022/7/6 23:21:00
本文主要是介绍拉格朗日差值学习笔记&做题记录,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
好像是多项式最基础的算法(?,但是咕了比较久,现在学一下吧。
差值是啥
这个东西类似于 FFT 的转化过程,就是多项式点值和多项式系数的转化,简而言之就是解决下面的问题,P4781。
已知一个 \(n-1\) 次多项式的 \(n\) 个点值,\(f(x_i)=y_i\),已知 \(k\),求 \(f(k)\bmod 998244353\)。
\(n\le 2000\)
咋做
显然可以直接列方程然后高斯消元,复杂度 \(O(n^3)\),非常寻宝。
考虑一个构造,令 \(F(x)=\sum f_i(x)\frac{y_i}{f_i(x_i)}\),其中 \(f_i(x)\) 是一个和 \(x_i\) 有关的多项式,满足 \(f_i(x_i)\ne 0,f_i(x_j)=0(j\ne i)\),这样就可以满足 \(F(x_i)=y_i\) 了,因为其他项全都是 \(0\)。
再考虑怎么去构造这个 \(f_i(x)\)。
因为显然 \(x_i\) 互不相同,所以可以构造出:
\[f_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j) \]最后整理一下,可以得到:
\[F(k)=\sum_{i=1}^n y_i \frac{\prod_{j\ne i}(k-x_j)}{\prod_{j\ne i} (x_i-x_j)} \]直接计算,时间复杂度 \(O(n^2)\)。
code
- 点值连续差值
上面部分相当于一个前缀乘上一个后缀可以直接预处理,下面部分相当于每次一个阶乘乘上一些 \(-1\),可以列出:
\[F(k)=\sum_{i=1}^n y_i \frac{\prod_{j\ne i}(k-x_j)}{(i-1)!(n-i)!(-1)^{i-1}} \]时间复杂度 \(O(n)\)。
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